» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Scala di infinitesimi di ordine indeterminato

domenica, Febbraio 26th, 2017

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In questo numero introduciamo la nozione di scala di infinitesimi. Premettiamo il teorema:
Teorema

Dimostrazione

onde l'asserto.
c.d.d.

Consideriamo ora l'insieme i cui elementi sono le funzioni reciproche delle funzioni appartenenti alla scala di infiniti

Per il teorema appena dimostrato si ha che ogni elemento di (1) è un infinitesimo (per x->+oo) di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1.

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[¯|¯] Scala di infiniti di ordine indeterminato

domenica, Febbraio 26th, 2017

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In questo numero introduciamo la nozione di scala di infiniti.

Per quanto precede, per x->+oo la funzione x*lnx è un infinito di ordine indeterminato. Precisamente, è è un infinito di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1. Consideriamo ora la seguente funzione

Risulta

Al solito, determiniamo l'ordine di infinito assumendo come infinito di riferimento la funzione v(x)=x. Pertanto

Distinguiamo i casi:

1. 0<α<1

2. α=1
   

3. α>1
   Eseguiamo il cambio di variabile t=ln x, per cui
   
   Segue
   
   giacché e^λt è un infinito di ordine infinitamente grande.

Ne consegue che x·lnx·lnlnx è un un infinito (per x->+oo) di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1.
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