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[¯|¯] L'inseguimento di un bersaglio che compie manovre evasive, è un processo di Wiener?

Novembre 13th, 2018 | by Marcello Colozzo |

La genesi del problema di inseguimento si perde nella notte dei tempi: i primi studi risalgono addirittura a Leonardo da Vinci. Tale problema venne poi studiato da un punto di vista fisico-matematico durante gli anni della guerra fredda, in forza della sua importanza in ambito militare. In quel periodo il principale sistema di intercettazione di aerei nemici era rappresentato dal Radar. Nella metà degli anni cinquanta furono progettati i primi sensori all'infrarosso (IRST, acronimo di InfraRed Search and Track), in grado di rilevare la radiazione infrarossa emessa dai gas di scarico del bersaglio. Durante la guerra del Vietnam vennero utilizzati a bordo dei caccia Convair F-102 Delta Dagger; si trattava, tuttavia, di dispositivi molto primitivi e lo sviluppo vero e proprio si realizzò a partire dagli anni '80.

Nel lavoro precedente, avevamo considerato il caso più semplice: il bersaglio è un bombardiere inseguito da un caccia, e che non esegue manovre evasive.

Impostazione cinematica del problema

Un bersaglio B è inseguito da un inseguitore I, schematizzati da una coppia di punti materiali che, per ipotesi, compiono un moto piano rispetto a un sistema riferimento inerziale K=R?O, dove R(Oxy) è di riferimento cartesiano ortogonale e O un orologio che misura il tempo in K.
B e I sono rappresentati dai punti B(x_B(t),y_B(t)) e P(x(t),y(t)), essendo t il tempo misurato da O. Denotiamo con v(t) la velocità di P rispetto a K:

dove x(t) è il vettore posizione di P a tutti i tempi, mentre la notazione puntata denota l'operazione di derivazione rispetto alla variabile t. Se i e j sono i versori degli assi coordinati, si ha:

Definizione
La distanza orientata tra inseguitore e bersaglio è la funzione vettoriale:

data da

Condizione di inseguimento

essendo τ(t)una funzione reale non negativa.
In altri termini, P insegue B se e solo se il vettore velocità di P è parallelo e concorde al vettore distanza orientata d(t). Ciò è illustrato in figura:

La funzione τ(t) ha le dimensioni di un tempo, e risulta:

essendo:

Condizione di raggiungibilità
P raggiunge B se e solo se la funzione reale non negativa Δ(t) è dotata di almeno uno zero al finito.
Cioè:

Nel caso di raggiungibilità, dalla d(t)=τ(t)v(t) si ottiene l'equazione vettoriale:

Ciò premesso, in uno scenario più realitistico il bersaglio compie una serie di manovre evasive che in condizioni di idealità, sono rappresentate da un random walk. In altri termini, le funzioni x_B(t),y_B(t) che determinano la traiettoria del bersaglio, sono in realtà variabili aleatorie. Tali grandezze possono essere simulate nell'ambiente di calcolo Mathematica, come possiamo vedere puntando a questa risorsa. Vediamo quindi, che il bersaglio eseguirà una traiettoria del tipo di quella riportata in figura:

In virtù della condizione di inseguimento, il carattere aleatorio delle grandezze x_B(t),y_B(t) si trasferisce alle grandezze x(t),y(t) che compongono la traiettoria dell'inseguitore. In tale scenario, il problema non può essere risolto né analiticamente né numericamente. In un prossimo articolo vedremo se è possibile ricostruire in software la traiettoria dell'inseguitore in modo da raggiungere il bersaglio.

Tags: problema di inseguimento, processo aleatorio, random walk

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