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[¯|¯] Equazione della corda vibrante. La soluzione di D'Alembert

Ottobre 16th, 2018 | by Marcello Colozzo |

Introduzione

Molti processi fisici sono caratterizzati da una grandezza scalare u(x,y,z,t) funzione delle coordinate x,y,z e del tempo t, quale soluzione di una equazione differenziale alle derivate parziali (PDE, da qui in avanti). Senza perdita di generalità, consideriamo il caso unidimensionale nelle coordinate spaziali, i.e. u(x,t).

Siamo interessati ai processi fisici che possono essere descritti da PDE del secondo ordine e lineari:

dove A(x,t),B(x,t),... sono assegnate funzioni sufficientemente regolari, denominate coefficienti dell'equazione, mentre G(x,t) è il termine noto. Se le A(x,t),...,F(x,t), si riducono a delle costanti, l'equazione si dirà a coefficienti costanti. Se poi G(x,t)=0, l'equazione è omogenea.

Sussistono le seguenti definizioni:

Equazione della corda vibrante

All'istante t=0 una corda elastica indefinitamente estesa lungo l'asse x, viene "pizzicata" producendo uno spostamento trasversale (cioè perpendicolare all'asse x). A tutti i tempi t>0 il predetto spostamento è una funzione u(x,t) soluzione della PDE:

dove

essendo τ la tensione lungo la corda, e ρ la densità lineare (massa per unità di lunghezza). Ritenendo tali grandezze costanti (positive), si ha che l'equazione precedente è una PDE del secondo ordine, lineare, omogenea e a coefficienti costanti.

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In particolare:

per cui l'equazione è iperbolica. Un problema di Cauchy di rilevanza fisica è il seguente:

dove

mentre

sono funzioni continue assegnate. Tali funzioni sono definite su tutto R perchè stiamo considerando una corda che si estende da -oo a +oo. La prima delle condizioni iniziali fornisce lo spostamento trasversale iniziale, mentre la seconda esprime la velocità iniziale del generico punto. Ciò premesso, dimostriamo il teorema:
Teorema (Soluzione di D'Alembert)
Il problema di Cauchy assegnato, è compatibile e determinato i.e. ammette un'unica soluzione, data da:

Dimostrazione
Nell'equazione della corda vibrante eseguiamo il cambio di variabili:

per cui

Segue

Derivando ulteriormente:

Supponendo che u(x,t) verifichi le ipotesi del teorema di Schwartz:

Alla stessa maniera

In tal modo l'equazione della corda vibrante scritta nelle variabili (ξη) assume la forma:

il cui integrale generale è

Qui α e β sono arbitrarie funzioni derivabili su tutto R. Ripristinando le variabili x,t:

che è l'integrale generale che stiamo cercando. Determiniamo l'integrale particolare (se esiste) che risolve il predetto problema di Cauchy:

Segue

Dalla seconda

essendo K una costante di integrazione. Pertanto

che risolto rispetto a α(x),ß(x)

Finalmente l'asserto:

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Tags: equazione della corda vibrante, equazioni differenziali alle derivate parziali, soluzione di D'Alembert

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