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[¯|¯] La definizione di spazio metrico

Settembre 19th, 2018 | by Marco Giancola |

Si definisce spazio metrico un insieme X sul quale è definita una funzione

denominata distanza o metrica, che gode delle seguenti proprietà:

La metrica più nota è quella definita su uno spazio vettoriale normato, ossia uno spazio vettoriale dotato di norma ||.||, mediante la formula:

Se lo spazio vettoriale è Rⁿ e || || è la norma euclidea, la precedente formula diventa:

e ci fornisce la distanza euclidea tra due punti x e y di Rⁿ ovvero la lunghezza del segmento che li unisce. Questa è indubbiamente la distanza più comune, quella nota a tutti, anche ai non matematici. Ma in matematica esistono infinite metriche, alcune delle quali apparentemente “strambe”. Vediamone qualcuna.
Consideriamo un insieme arbitrario X e poniamo:

con x,y appartenenti a X. Tale funzione prende il nome di metrica discreta e, anche se può sembrare assurdo (ogni elemento di X dista 1 da tutti gli altri), è effettivamente una distanza. Per dimostrarlo basta dimostrare che d(x, y) soddisfa tutte e quattro le proprietà che definiscono una metrica. Le prime tre si verificano immediatamente; per provare che vale anche la disuguaglianza triangolare, basta considerare i casi possibili:

La norma euclidea è un caso particolare della più generale norma p:

con p appartenente all'intervallo illimitato [1, +oo). Quando p = 2, tale norma coincide con quella euclidea. Per p = oo invece, essa si definisce tramite quest’altra formula:

Mediante questa norma possiamo definire su Rⁿ una metrica che generalizza quella euclidea:

Una metrica simile alla precedente è quella utilizzata nello spazio L^p (p >= 1) per determinare la distanza tra due funzioni distinte:

essendo X il dominio delle funzioni f,g.

Tags: distanza, metrica, spazio metrico, spazio vettoriale

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