Somma costante di distanze tra un punto generico e i lati di un triangolo equilatero

martedì, Luglio 13th, 2021

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Fig. 2


Appunti ed esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Dimostrare che in un triangolo equilatero, da un punto generico P interno al triangolo, la somma delle distanze da P ai lati del triangolo è costante. Dalla fig.:


vediamo


Soluzione
1° Metodo. Si consideri la fig. 1. I segmenti rossi PQ,PR,PS sono perpendicolari ai rispettivi lati BC,CA,AB. Il segmento EF è parallelo al segmento BC. Il segmento ET è parallelo al segmento PR. Il triangolo HEP è equilatero perché PH è parallelo ad AC e nel quale si ha


Il triangolo AEF è equilatero e nel quale si ha

Osserviamo che


cioè


e quindi

che è una costante nel triangolo ABC.
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[¯|¯] La definizione di spazio metrico

mercoledì, Settembre 19th, 2018

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Si definisce spazio metrico un insieme X sul quale è definita una funzione

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denominata distanza o metrica, che gode delle seguenti proprietà:

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La metrica più nota è quella definita su uno spazio vettoriale normato, ossia uno spazio vettoriale dotato di norma ||.||, mediante la formula:

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Se lo spazio vettoriale è Rn e || || è la norma euclidea, la precedente formula diventa:

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e ci fornisce la distanza euclidea tra due punti x e y di Rn ovvero la lunghezza del segmento che li unisce. Questa è indubbiamente la distanza più comune, quella nota a tutti, anche ai non matematici. Ma in matematica esistono infinite metriche, alcune delle quali apparentemente “strambe”. Vediamone qualcuna.
Consideriamo un insieme arbitrario X e poniamo:

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con x,y appartenenti a X. Tale funzione prende il nome di metrica discreta e, anche se può sembrare assurdo (ogni elemento di X dista 1 da tutti gli altri), è effettivamente una distanza. Per dimostrarlo basta dimostrare che d(x, y) soddisfa tutte e quattro le proprietà che definiscono una metrica. Le prime tre si verificano immediatamente; per provare che vale anche la disuguaglianza triangolare, basta considerare i casi possibili:

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