[¯|¯] Le proprietà di una relazione si traducono in proprietà del grafico
Giugno 28th, 2018 | by Marcello Colozzo |Dimostriamo alcune proposizioni che traducono le proprietà (riflessiva, simmetrica, etc.) in proprietà del grafico di una relazione.
Proposizione 1
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia riflessiva, è che la diagonale Δ del prodotto cartesiano S×S sia un sottoinsieme del grafico G(ρ). Cioè
Dimostrazione
Proposizione 2
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia simmetrica, è che il suo grafico sia simmetrico rispetto alla diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè
ove G-1(ρ) è il simmetrico di G(ρ).
Dimostrazione
Premettiamo
Segue
D'altra parte
Cioè
Proposizione 3
Dimostrazione
Proposizione 3
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia antisimmetrica, è che l'intersezione del grafico con il suo simmetrico sia un sottoinsieme della diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè
Dimostrazione
Proposizione 4
Il grafico della relazione identica in S, è la diagonale di S×S.
Dimostrazione