[¯|¯] Le proprietà di una relazione si traducono in proprietà del grafico

giovedì, Giugno 28th, 2018

Dimostriamo alcune proposizioni che traducono le proprietà (riflessiva, simmetrica, etc.) in proprietà del grafico di una relazione.
Proposizione 1
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia riflessiva, è che la diagonale Δ del prodotto cartesiano S×S sia un sottoinsieme del grafico G(ρ). Cioè
insiemi,relazione,grafico

Dimostrazione

Proposizione 2
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia simmetrica, è che il suo grafico sia simmetrico rispetto alla diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè

ove G^-1(ρ) è il simmetrico di G(ρ).

Dimostrazione
Premettiamo

Segue

D'altra parte

Cioè

Proposizione 3

Dimostrazione

Proposizione 3
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia antisimmetrica, è che l'intersezione del grafico con il suo simmetrico sia un sottoinsieme della diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè

Dimostrazione

Proposizione 4
Il grafico della relazione identica in S, è la diagonale di S×S.

Dimostrazione

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[¯|¯] Grafico di una relazione

mercoledì, Giugno 27th, 2018

relazione,insieme,grafico,diagonale — **Fig. 1**

Sia S un insieme non vuoto e ρ una relazione in S:

Definizione
Dicesi grafico della relazione ρ il seguente sottoinsieme del prodotto cartesiano S×S:

Definizione
Dicesi diagonale del prodotto cartesiano S×S, il sottoinsieme:

Definizione
Dicesi simmetrico rispetto alla diagonale di un elemento (x,y) del prodotto cartesiano S×S, l'elemento (y,x).

Proposizione
Un elemento (x,y) del prodotto cartesiano S×S coincide con il proprio simmetrico, se e solo se appartiene alla diagonale di S×S.

Dimostrazione.

Discende direttamente dalla definizione di simmetrico.

Definizione
Assegnato un sottoinsieme T di S×S, dicesi simmetrico di T rispetto alla diagonale di S×S, l'insieme:

cioè l'insieme i cui elementi sono i simmetrici rispetto a Δ degli elementi di T.

Definizione
Un sottoinsieme T di S×S è simmetrico rispetto alla diagonale di S×S se T=T^-1.

Consideriamo, ad esempio, il prodotto cartesiano R×R=R² quale insieme di punti di un piano α dello spazio ordinario. Introducendo in α un riferimento cartesiano ortogonale R_α(Oxy), si ha