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[¯|¯] Le onde di Riemann

Se ho fatto bene i conti, ho dimostrato un teorema secondo cui la funzione zeta di Riemann è un integrale dell'equazione d'onda di D'Alembert. Tutto ciò a patto di parametrizzare in maniera opportuna la parte reale e la parte immaginaria dell'usuale variabile complessa z=x+i*y. Come indicato in fig. 1, si fissa ad arbitrio un valore dell'ascissa x (diverso da 1, in modo da non capitare sulla singolarità (1,0)), e si considera la retta per tale punto e parallela all'asse immaginario, rappresentata parametricamente attraverso una variabile -oo

In altri termini, per ogni x reale e diverso da 1, facciamo "scorrere" t da -oo a +oo. In tal modo si passa a una funzione ψ(x,t) che in un riferimento cartesiano ortogonale Oxyz quale sistema di riferimento inerziale nel paradigma della fisica newtoniana, rappresenta un campo scalare funzione del tempo t. Questo campo ha tutte le sembianze di un'onda in propagazione con un'ampiezza esponenzialmente smorzata. Il teorema viene dimostrato utilizzando la trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni. Incidentalmente, un esponenziale reale non ammette trasformata di Fourier nemmeno nel senso delle distribuzioni. Però, sottoponendolo a uno sviluppo di Mac Laurin, compaiono termini che sono potenze di esponente intero, i quali hanno trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni. In questo modo possiamo esprimere l'esponenziale reale attraverso una serie di infinite trasformate di Fourier nel senso delle distribuzioni. Alla fine compare una doppia somma infinita con un integrale generalizzato. Ma l'integrando è un'onda monocromatica i.e. un integrale della D'Alembert. Abbiamo una sovrapposizione lineare, e l'equazione è lineare, da cui l'asserto.

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Tags: equazione d'onda di D'Alembert, funzione Zeta di Riemann, Trasformata di Fourier