[¯|¯] Un possibile test per verificare la Congettura di Riemann |

[¯|¯] Un possibile test per verificare la Congettura di Riemann

Maggio 2nd, 2017 | by Marcello Colozzo |

distribuzione dei numeri primi,congettura di Riemann,funzione zeta di Riemann

Analisi locale

Abbiamo visto che l'espressione esatta della funzione di distribuzione π₀(x) è:

dove i termini a secondo membro sono stati studiati nei numeri precedenti. Chiediamoci: qual'è la differena tra π₀(x) e la funzione π(x)? Rammentiamo innanzitutto che assegnato un numero primo p_m dove m è un intero naturale, si ha:
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Ne consegue che π(x) è definita in ogni x=p_m, ma è ivi non regolare, risultando convergente a sinistra e a destra, come vediamo dal grafico di figura:

Secondo Riesel-Göhl la funzione π₀(x) ha una discontinuità di prima specie in ogni x=p_m, ma a differenza del caso di π(x), si tratta di una discontinuità simmetrica:

o ciò che è lo stesso:
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La figura seguente mostra appena scritto:
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mentre quest'altro grafico mostra il caso π₀(3)=3/2, π₀(2)=1/2.
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Noi, invece, abbiamo trovato un comportamento differente. Più precisamente, risulta:
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ovvero la funzione π₀(x) riproduce il comportamento della π(x) non solo per le discontinuità ma anche per il valore ivi assunto. Abbiamo eseguito una routine in ambiente Mathematica simile alla precedente, con la differenza di aver assegnato un intervallo centrato in p₂₀=71, considerando il contributo provieniente dai primi 100 zeri della funzione zeta di Riemann.

Il risultato è riportato nella figura al top di questa pagina, in cui abbiamo posto:

che al crescere indefinito di N determina univocamente la successione di elementi di R:
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Per quanto precede, tale successione converge
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Per definizione di limite:
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Ora riprendiamo un'espressione approssimata di T_n trovata in un post precedente, e che riscriviamo esprimendo l'n-esimo zero come:
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dove il numero reale σ_n è definito da
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Riesce:

Con tale approssimazione la disuguaglianza diventa:
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che rappresenta un possibile test per la verifica della Congettura di Riemann.

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