» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Forme indeterminate a gogo

Gennaio 15th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Studiare il comportamento della funzione illustrata in fig. 1, agli estremi del suo campo di esistenza.

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Soluzione
La funzione è definita in X=R-{0}, ed è istruttivo studiarne il segno.

onde la funzione è positiva in X. Studiamo il comportamento in un intorno del punto di accumulazione x=0. Precisamente:

L'indeterminazione è prodotta dal numeratore, per cui calcoliamo a parte

mentre

giacché e^t è, per t->+oo, un infinito di ordine infinitamente grande. Segue

Ne consegue che l'asse y è asintoto verticale a destra per il grafico della funzione.

Dal momento che la funzione è positiva nel suo insieme di definizione, deve essere:

Calcoliamo

Cioè troviamo la forma indeterminata 0·oo sia a numeratore che a denominatore. Consideriamo l'espansione del coseno iperbolico in esponenziali, secondo la consueta definizione di coshx:

Segue

Siamo pertanto riusciti a rimuovere l'indeterminazione a denominatore. Calcoliamo a parte

che è un caso particolare del limite fondamentale

Pertanto

Da tale risultato emerge che la funzione è convergente per x->+oo e il limite vale 2. In termini geometrici, ciò implica che la retta y=2 è asintoto orizzontale a destra per il grafico della funzione. Ora calcoliamo

cioè nuovamente la forma indeterminata 0·oo sia a numeratore che a denominatore. Utilizzando l'artificio precedente:

Il limite a denominatore è +oo, mentre il limite a numeratore

onde

ovvero la funzione è infinitesima per x->-oos.

Tags: coseno iperbolico, esponenziale, Forme indeterminate, limiti

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