II Teorema del punto fisso (o Teorema di Brouwer)

Marzo 2nd, 2016 | by Marcello Colozzo |

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Un utente del blog ha commentato il post sulla ricorsione:

Salve, volevo porle una questione in merito alla ricorsione: c'è un criterio con cui è possibile stabilire la "convergenza" della composizione di una stessa funzione? Ovvero, inglobando n volte una stessa funzione, per n->+oo, ha senso parlare di una funzione limite?

La domanda sembrava essere priva di risposta, poichè - utilizzando un linguaggio suggestivo ma efficace - "inglobando" un numero infinito di volte una funzione su stessa, si ottiene un oggetto mostrosamente complicato. Riflettendoci, la risposta è addirittura banale. Per fissare le idee, data la funzione di classe C^1

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componiamola n volte per un assegnato x0:

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in modo da generare la successione:

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avendo posto:
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A questo punto rammentando il Teorema del punto fisso, si ha:

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dove x* è la radice dell'equazione f(x)=x. In virtù dell'arbitrarietà del punto iniziale x0 si ha

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Cioè la successione converge a una funzione costante.

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