Il Teorema di esistenza ed unicità e il Teorema del punto fisso

venerdì, Marzo 4th, 2016

teorema del punto fisso, teorema di Brouwer, teorema di esistenza ed unicità

Riflettendo attentamente sui post precedenti, si potrebbe addirittura scoprire un legame tra il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine di forma normale e autonoma, e il teorema del punto fisso. Per essere più specifici, consideriamo un sistema dinamico a tempo continuo la cui evoluzione è regolata da un'equazione differenziale del primo ordine x'=F(x), dove F non dipende esplicitamente dal tempo (il sistema è per ipotesi autonomo).
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II Teorema del punto fisso (o Teorema di Brouwer)

mercoledì, Marzo 2nd, 2016

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Un utente del blog ha commentato il post sulla ricorsione:

Salve, volevo porle una questione in merito alla ricorsione: c'è un criterio con cui è possibile stabilire la "convergenza" della composizione di una stessa funzione? Ovvero, inglobando n volte una stessa funzione, per n->+oo, ha senso parlare di una funzione limite?

La domanda sembrava essere priva di risposta, poichè - utilizzando un linguaggio suggestivo ma efficace - "inglobando" un numero infinito di volte una funzione su stessa, si ottiene un oggetto mostrosamente complicato. Riflettendoci, la risposta è addirittura banale. Per fissare le idee, data la funzione di classe C^1

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componiamola n volte per un assegnato x0:

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in modo da generare la successione:

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