Fenomeno di Brouwer?

Marzo 3rd, 2016 | by Marcello Colozzo |

teorema del punto fisso, teorema di Brouwer

Ripetendo i conti precedenti con la funzione f(x)=cos(2x) non si ha convergenza. Questo è chiaro perchè la derivata non è limitata in valore assoluto da +1, per cui il teorema del punto fisso è inapplicabile. Intuitivamente, ciò è dovuto al fatto che la funzione varia "troppo velocemente" per poter garantire la convergenza del processo di ricorsione.

Ma la cosa interessante è che l'equazione cos(2x)=x ammette una ed una soluzione nell'intervallo [0,pi/4], tuttavia per quanto detto non si ha convergenza, e il processo ricorsivo restituisce delle oscillazioni spurie simili a quelle che caratterizzano il ben noto fenomeno di Gibbs dell'analisi di Fourier. Sarebbe il caso di riferirsi al "fenomeno di Brouwer". A breve una possibile risposta eseguendo altri test...

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)
Articoli correlati

4 Responses to “Fenomeno di Brouwer?”

  1. By Vincenzo on Mar 4, 2016

    Salve, sono quello che le ha posto la domanda sulla ricorsione; ho studiato numericamente la funzione sin(k*cos(x)) con k reale: sembra che la convergenza sia assicurata (quasi per ogni k) per valori di k inferiori a (circa) 6; per questi k < 6 ho riscontrato situazioni singolari in cui la convergenza non è assicurata (l'errore tra due termini della successione non è trascurabile); per k più grandi ho notato un fenomeno opposto, ovvero divergenza quasi ovunque, tranne (pochissimi) casi di convergenza.

  2. By extrabyte on Mar 5, 2016

    interessante, ci proverò oggi pomeriggio con Mathematica...

  3. By extrabyte on Mar 5, 2016

    File aggiornato: https://www.extrabyte.info/2016/03/05/una-classe-di-sistemi-dinamici-iterati/ per ora ho esaminato solo alcuni valori interi di lambda...

  4. By extrabyte on Mar 6, 2016

    Ho notato che per k=3 escono fuori due punti periodici (se guardiamo la successione dei punti e non delle funzioni). Questo significa che la successione di funzioni fn(x) non converge ma oscilla tra due funzioni costanti: https://www.extrabyte.info/2016/03/06/sistemi-dinamici-a-tempo-discreto-e-processi-ricorsivi/

Commenta l'esercizio