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Continuità e derivabilità di una funzione reale di una variabile reale.

Vale la pena approfondire la questione del post precedente La funzione f(x)=x*sin(1/x) per x non nullo, f(x)=0 per x=0, è un esempio di funzione continua in x=0 ma non ivi derivabile. Infatti, abbiamo visto che la retta secante oscilla indefinitamente tra le bisettrici del primo e quarto quadrante (è chiaro che ciò può essere visto analiticamente studiando il comportamento del rapporto incrementale).

La dimostrazione della continuità segue dalla convergenza di detta funzione. Infatti, dalla disuguaglianza (valida per x diverso da 0) |x*sin(1/x)|<= |x|, applicando la definizione di limite, si giunge immediatamente alla conclusione che tale funzione è infinitesima per x->0. Graficamente, la curva y=f(x) compie infinite oscillazioni tra le rette bisettrici y=x e y=-x, con la differenza che ora le oscillazioni si smorzano per x->0. Prolungando la x*sin(1/x) in x=0, ponendo f(0)=0, otteniamo una funzione continua. Attenzione: contrariamente a quanto si pensa, non sempre è possibile tracciare il diagramma di una funzione continua. Infatti, nel caso in esame le oscillazioni si addensano intorno a x=0, per cui è impossibile disegnare la curva. Infatti:

Abbiamo, quindi, un esempio di funzione continua in un punto, ma non ivi derivabile. Esiste, allora, un legame tra continuità e derivabilità? La risposta è affermativa, ed è espressa da un teorema secondo cui la continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità.

Tags: continuità, derivabilità, limite, Rapporto incrementale