Funzioni non derivabili (rapporto incrementale che non tende ad alcun limite)

Gennaio 9th, 2016 | by Marcello Colozzo |

Negli ultimi due post abbiamo costruito della animazioni grafiche che mostrano l'"avvicanamento" del rapporto incrementale alla derivata prima, nonchè la rotazione della retta secante che andrà poi a sovrapporsi alla retta tangente. Per fare ciò si considerano, ovviamente, funzioni derivabili, funzioni cioè per le quali il rapporto incrementale converge a un limite finito.

Diversamente, ci sono funzioni per le quali ciò non avviene. È il caso drammatico della funzione f(x)=x*sin(1/x) per x non nullo, f(x)=0 per x=0. Infatti, per tale funzione, nel punto x=0, il rapporto incrementale è non regolare. Ne consegue che la retta secante non tende ad alcuna posizione limite al tendere a zero dell'incremento della variabile indipendente. Più precisamente, compie un numero infinito di oscillazioni tra le bisettrici del primo e quarto quadrante come mostrato nell'animazione seguente: