[¯|¯] Relazioni in un insieme

Ottobre 30th, 2014 | by extrabyte |

Nella Lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Ciò ci consente di definire un'altra importante nozione, quella di relazione in un insieme. Più specificatamente, assegnato un insieme A, ogni corrispondenza di A verso se stesso, definisce una relazione in A.



In altri termini, una relazione in A è una corrispondenza:

corrispondenza tra insiemi,relazione in un insieme

Scriviamo:

corrispondenza tra insiemi,relazione in un insieme

Cioè, a è in relazione con a' se e solo se a' è un elemento dell'immagine di a mediante corrispondenza tra insiemi,relazione in un insieme.
Una relazione corrispondenza tra insiemi,relazione in un insieme in A può verificare alcune proprietà notevoli:

proprietà riflessiva,simmetrica,antisimmetrica,transitiva

Preso ad arbitrio un insieme A non vuoto, chiamasi relazione identica in A, la relazione:

relazione identica

cioè la relazione che a ogni elemento a di A associa l'insieme il cui
unico elemento èa. La relazione identica in A è una relazione univoca
per cui individua l'applicazione:

applicazione identica

tale che

applicazione identica

cioè l'applicazione identica in A.

Assegnata una relazione

corrispondenza tra insiemi,relazione in un insieme
, può accadere

relazione,teoria degli insiemi

o, ciò che è lo stesso, possono esistere elementi di A che non sono in relazione con nessun altro elemento di A.

Proposizione
Sia corrispondenza tra insiemi,relazione in un insieme una relazione in A tale che relazione,teoria degli insiemi

relazione,teoria degli insiemi

Dimostrazione
Omessa.

Proposizione

relazione,teoria degli insiemi

Dimostrazione
Omessa.

Proposizione

relazione,teoria degli insiemi

Dimostrazione
Omessa.

Riferimenti bibliografici.
Elementi di Algebra

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