[¯|¯] Applicazione inversa

lunedì, Giugno 11th, 2018

applicazioni tra insiemi, applicazione inversa

Comunque prendiamo un'applicazione bi-iettiva f:S->S', è univocamente determinata l'applicazione che associa all'elemento x' di S', l'elemento x di S tale che f(x)=x'. Infatti, l'iniettività implica l'unicità dell'elemento x:

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Definizione
Chiamiamo applicazione inversa la predetta applicazione, denotandola con f-1 e scrivendo:

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Proposizione
Comunque prendiamo una biezione f:S'->S, si ha

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Dimostrazione

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onde
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In maniera analoga si dimostra l'altra relazione.

Proposizione
Ipotesi: Per un'assegnata applicazione f:S->S', esiste un'applicazione g:S'->S tale che

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Tesi:

  1. f è una biezione
  2. g=f-1

Dimostrazione
Iniziamo con il dimostrare che f è bi-iettiva i.e. è suriettiva e iniettiva. Sia

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Segue

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In virtù dell'arbitrarietà di x' quale elemento di S', si ha

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onde la suriettività di f.
Per dimostrare l'iniettività prendiamo

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per cui
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Cioè f è iniettiva. Per dimostrare il punto 2, consideriamo

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Per la proprietà associativa
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da cui l'asserto.


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[¯|¯] Applicazioni suriettive, iniettive, bi-iettive

venerdì, Giugno 8th, 2018

applicazioni tra insiemi,applicazioni suriettive,applicazioni iniettive,applicazioni bi-iettive


Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice suriettiva (o surgettiva o che è una surgezione) se f(S)=S', cioè se ogni elemento x' di S' proviene, attraverso f, da un elemento x di S.
Questi esempi mostrano applicazioni surgettive.

Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice iniettiva se

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cioè se la controimmagine di ogni elemento di f(S) è costituita da un solo elemento. Ne consegue che se f è iniettiva, ogni elemento di x di f(S) proviene da un solo elemento x di S. Posto

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si ha

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Esempio
Denotiamo con N l'insieme degli interi naturali. Sia data l'applicazione che a ogni intero n associa il doppio 2n:
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Segue
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cioè l'immagine di N mediante f è l'insieme dei numeri pari:

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Determiniamo la controimmagine:

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onde

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Ne concludiamo che f è iniettiva.









Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice bi-iettiva o che è una bi-iezione se è suriettiva e iniettiva.

Applicazione identica e applicazione costante

Definizione
Comunque prendiamo un insieme S non vuoto, dicesi applicazione identica, l'applicazione:

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cioè l'applicazione che associa a ogni elemento x di S, l'elemento medesimo.

Riesce
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da cui la bi-iettività di eS.
Definizione
Un'applicazione f:S->S' si dice costante se
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cioè se ogni elemento x di S muta mediante f, in un elemento fisso di f(S).


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