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[¯|¯] Esempi di funzioni reali di una variabile reale

Settembre 16th, 2014 | by extrabyte |

Funzione costante

Assegnato un numero reale c non nullo, la funzione costante è:

cioè

Il grafico è:

che è la retta di equazione y=c, cioè la retta parallela all'asse x e passante per il punto (0,c), come mostrato in fig. 1 (in alto a sinistra).
Osserviamo che il predetto grafico si proietta ortogonalmente sull'asse x nell'insieme di definizione X=R e sull'asse y nel codominio della funzione, cioè f(R)={c}.

Funzione identicamente nulla

È un caso particolare della funzione costante, avendosi:

cioè

Il grafico è:

cioè l'asse x come mostrato in fig. 1 (in alto a destra). Il codominio è f(R)={0} che è la proiezione ortogonale dell'asse x (grafico di f) sull'asse y.

Funzione identica

È definita da f(x)=x, cioè associa a ogni x in R, il numero reale x. Proprio da questa sua proprietà deriva la sua denominazione, e cioè funzione identica, naturalmente da non confondere con la funzione identicamente nulla. Il grafico è in fig. 1 (in basso a sinistra).

Funzione valore assoluto

\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
\left\vert x\right\vert ,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}}{f:\mathbb{R}%
\rightarrow\mathbb{R}},
\end{equation}
cioè associa a ogni $x\in\mathbb{R}$, il numero reale non negativo $\left\vert x\right\vert$:
\begin{equation}
f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert ,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}\,
\end{equation}
Tenendo conto della definizione di valore assoluto di un numero reale, si ha:
\begin{equation}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x,\text{ se }x\geq0\\
-x\text{, se }x<0 \end{array} \right. \end{equation} Il grafico è

$$\Gamma_{f}=r_{+}\cup r_{-}$$

dove:

$$r_{+}=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\mid 0\leq x<+\infty,\,\,\,y=x\right\}$$

e

$$r_{-}=\left\{ \left( x,y\right) \in\mathbb{R}^{2}\mid-\infty<x\leq0,\,\,\,y=-x\right\}$$

In altri termini, $r_{+}$ e $r_{-}$ sono rispettivamente le semirette bisettrici del primo e quarto quadrante. Il grafico della funzione valore assoluto è l'unione di tali semirette. Il grafico si proietta ortogonalmente sull'asse $x$ nell'insieme di definizione della funzione $X=\mathbb{R}$ e sull'asse $y$ nel suo codominio $f\left( \mathbb{R}\right)=\left[ 0,+\infty\right)$ come mostrato in fig. 1 (in basso a destra).

Tags: funzione costante, funzione identica, funzione identicamente nulla, funzione valore assoluto

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