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[¯|¯] Funzione integrabile ma non sommabile

lunedì, Febbraio 18th, 2019

funzione integrabile,funzione sommabile,rettangoloide generalizzato
Fig. 1

Esercizio
Studiare l'integrabilità in [0,+oo) della seguente funzione


Soluzione
Risulta:


per cui


Più precisamente:

(altro…)



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[¯|¯] Sommabilità di e^-(x)*sin(x)

domenica, Febbraio 17th, 2019

sommabilità,integrabilità,rettangoloide generalizzato
Fig. 1

Esercizio
Studiare l'integrabilità della funzione di fig. 1

Soluzione

Osserviamo innanzitutto


Siccome

per il teorema dei carabinieri


Inoltre, sempre dalla doppia disuguaglianza appena vista, segue che il diagramma cartesiano della funzione


è contenuto nella regione del piano cartesiano

In parole semplici, la funzione oscilla sinusoidalmente tra le curve esponenziali e^(-x) ed -e^(-x), come illustrato in fig. 1. Inoltre, la funzione si annulla infinite volte e i suoi zeri sono:


per cui cambia infinite volte segno. Applicando questo procedimento, si ha:


Riesce

essendo R{e-x il rettangoloide generalizzato relativo a e-x di base [0,+oo). Per una nota proprietà della misura segue


Da quest'esempio, si ha

Per la proprietà additiva della misura la precedente si riscrive

Ma


onde


da cui la sommabilità della funzione assegnata. A questo punto possiamo calcolare l'integrale con il solito procedimento di passaggio al limite:


che si calcola facilmente, ottenendo il risultato di fig. 1.



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