[¯|¯] Funzione integrabile ma non sommabile

Febbraio 18th, 2019 | by Marcello Colozzo |

funzione integrabile,funzione sommabile,rettangoloide generalizzato — **Fig. 1**

Esercizio
Studiare l'integrabilità in [0,+oo) della seguente funzione

Soluzione
Risulta:

per cui

Più precisamente:

La funzione proposta è continua ed ha un'infinità numerabile di zeri, per cui cambia segno un numero infinito di volte. Il grafico è riportato in fig. 1 (si notino i punti angolosi di coordinate (n*π,0)). Intuitivamente, vediamo che il rettangoloide R₁ è l'unione di una successione infinita di rettangoloidi di misura progressivamente crescente. Di contro, il rettangoloide R₂ pur essendo l'unione di infiniti rettangoloidi, ha area nulla giacché i rettangoloidi componenti sono progressivamente schiacciati sull'asse x, per cui ci aspettiamo:

Ne concludiamo che la funzione assegnata è integrabile ma non sommabile in [0,+oo):

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