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Controesempio all'invertibilità del Teorema di Lagrange

domenica, Novembre 22nd, 2020

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Proponiamo un secondo controesempio che mostra la non invertibilità del Teorema di Lagrange in Meccanica analitica.

Più specificatamente, abbiamo una particella che si muove sull'asse x sede di un campo di forze posizionali (sufficientemente regolare, in tal modo il campo è necessariamente conservativo). L'energia potenziale è un'oscillazione sinusoidale (anzi, di sin(10/x)) inviluppata da un esponenziale periodico (e^-sin(x)^2) che per quanto visto in un esercizio precedente è di classe C^oo ma non è analitica. Ed è facile persuadersi che anche V(x) ha lo stesso comportamento. Inoltre per le infinite oscillazioni del grafico intorno a x=0, si ha che questo punto pur essendo uno zero di tutte le derivate, non è un punto di estremo relativo. Nonostante ciò, applicando la definizione di stabilità nel senso di Lyapunov, si scopre che il predetto punto è una posizione di equilibrio stabile per il sistema.
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Teorema di Lagrange (stabilità secondo Lyapunov)

mercoledì, Novembre 18th, 2020

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Per studiare la stabilità di un punto di equilibrio bisogna innanzitutto ricercare tali punti che per quanto visto, sono tutti e soli i punti critici dell'energia E(x,y), ovvero i punti estremali della funzione energia potenziale V(x). Per poter applicare questa definizione dobbiamo conoscere la soluzione (x(t),y(t)) del sistema per assegnate condizioni iniziali. Ciò è possibile solo nei casi più semplici ossia in quelli in cui il predetto sistema di equazioni differenziali è integrabile per quadrature, come nell'esempio dell'oscillatore armonico. In generale, è necessario un criterio di stbilità che non richiede l'integrazione del suddetto sistema. Nel 1644 Torricelli sapeva che la posizione di un sistema di corpi sottoposto alla gravità sarebbe stata stabile se il centro di gravità del sistema avesse occupato le posizioni più basse possibili. Lagrange generalizzò il principio di Torricelli enunciando un criterio di stabilità.
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