[¯|¯] Campi non semplicemente connessi e integrabilità di forme differenziali

martedì, Novembre 8th, 2016

campi vettoriali, forze conservative,integrale curvilineo, forma differenziale lineare, campo semplicemente connesso, curva di Jordan — **Fig. 1. Andamento del potenziale del campo vettoriale assegnato. Si noti la singolarità per x=1**

Nell'esercizio precedente abbiamo esaminato il caso dell'integrabilità di una forma differenziale lineare definita in un campo semplicemente connesso. Nell'esercizio proposto (e risolto) il campo di esistenza non è connesso e a più forte ragione, non è semplicemente connesso. Quindi se vogliamo applicare le condizioni (necessarie) di integrabilità, dobbiamo considerare la restrizione dei coefficienti della forma a una regione a connessione lineare semplice (o semplicemente connessa)
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[¯|¯] Studio di un campo vettoriale

martedì, Novembre 8th, 2016

campi vettoriali, forze conservative,integrale curvilineo, forma differenziale lineare — **Fig. 1. Andamento del potenziale del campo vettoriale assegnato**

Questo esercizio è istruttivo, poiché tiene conto di un noto teorema secondo cui tra le condizioni di integrabilità di una forma differenziale lineare, rientra la topologia del campo di esistenza A. Precisamente, il campo deve essere semplicemente connesso i.e. ogni curva di Jordan tracciata in A, è la frontiera di un dominio regolare contenuto in A. In termini semplici: un campo semplicemente connesso del piano è un insieme privi di buche (o lacune).
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