[¯|¯] Base e dimensionalità dello spazio vettoriale i cui elementi sono tensori covarianti di rango r
Marzo 2nd, 2020 | by Marcello Colozzo |Ciò premesso per un assegnato
denotiamo con {θji} la base duale associata alla base {eki} di En. Quindi
ed è chiaro che
Possiamo allora considerare un particolare sistema di elementi dello spazio vettoriale
Precisamente:
Ad esempio, per un tensore covariante di rango 2 quale elemento di
su ha
ossia 9 elementi. In generale:
Dimostriamo il seguente teorema:
Teorema
Il sistema
è una base di En*(r)
Dim.
Dimostriamo innanzitutto che si stratta di un sistema linearmente indipendente di ordine massimo. Comunque prendiamo una r-pla di vettori di En, dovrà essere per definizione di prodotto tensoriale di r 1-forme:
cioè
Scriviamo (con ovvio significato dei simboli):
Tenendo conto dell'equazione scritta più sopra:
Se in particolare, prendiamo i vettori di base:
onde la precedente diviene:
Ne consegue che il sistemaè lineramente indipendente. È facile convincersi che si tratta di un sistema di ordine massimo e ogni tensore covariante di rango r si esprime in un sol modo come combinazione lineare degli elementi del predetto sistema. Infatti:
Cioè
E quindic.d.d.
Tags: prodotto tensoriale, rango, spazio vettoriale, tensori covarianti
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