» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Relazioni in un insieme

Nella Lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Ciò ci consente di definire un'altra importante nozione, quella di relazione in un insieme. Più specificatamente, assegnato un insieme A, ogni corrispondenza di A verso se stesso, definisce una relazione in A.

In altri termini, una relazione in A è una corrispondenza:

Scriviamo:

Cioè, a è in relazione con a' se e solo se a' è un elemento dell'immagine di a mediante .
Una relazione in A può verificare alcune proprietà notevoli:

Preso ad arbitrio un insieme A non vuoto, chiamasi relazione identica in A, la relazione:

cioè la relazione che a ogni elemento a di A associa l'insieme il cui
unico elemento èa. La relazione identica in A è una relazione univoca
per cui individua l'applicazione:

tale che

cioè l'applicazione identica in A.

Assegnata una relazione

o, ciò che è lo stesso, possono esistere elementi di A che non sono in relazione con nessun altro elemento di A.

Proposizione
Sia una relazione in A tale che

Dimostrazione
Omessa.

Proposizione

Dimostrazione
Omessa.

Proposizione

Dimostrazione
Omessa.

Riferimenti bibliografici.
Elementi di Algebra

Tags: Applicazioni tra insiemi, corrispondenza tra insiemi, proprietà antisimmetrica, proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, proprietà transitiva, relazione in un insieme