» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Diffeomorfismi nello spaziotempo

giovedì, Luglio 4th, 2019

In Relatività Generale lo spaziotempo è schematizzato da una varietà differenziabile 4-dim. che denotiamo con M. Rammentiamo velocemente che una varietà differenziabile è uno spazio topologico di Hausdorff localmente isomorfo a Rⁿ, dove n è la dimensione della varietà. Più specificatamente, in un assegnato sistema di coordinate {x^µ}} di M il quadrato dell'intervallo spaziotemporale tra due eventi infintamente vicini, si scrive:

Le grandezze g_µν(x) sono funzioni di punto x=(x^µ) e sono manifestamente simmetriche rispetto alla permutazione degli indici, per cui sono rappresentabili da una matrice simmetrica 4×4 che denotiamo con

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[¯|¯] Introduzione al concetto di Varietà differenziabile

venerdì, Marzo 31st, 2017

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Le ambiguità riscontrate nella definizione di curva regolare, si risolvono in "un colpo solo" attraverso la nozione di varietà differenziabile. Per introdurre tale importante ente geometrico sono necessarie alcune premesse.

Lo spazio euclideo a n dimensioni

In questa esposizione seguiremo il testo Introduzione ai metodi della geometria differenziale dove viene utilizzata la convenzione degli "indici in alto" per denotare gli elementi delle n-ple ordinate che compongono l'insieme Rⁿ:

con l'ulteriore convenzione di indicare con x (non grassettato) il generico elemento del predetto insieme. Cioè

Ciò premesso, definendo la funzione distanza:

L'insieme Rⁿ assume la struttura di spazio metrico. Chiamiamo tale spazio spazio euclideo a n dimensioni. Inoltre, la metrica induce in Rⁿ una struttura di spazio topologico. In tale topologia gli aperti sono gli insiemi di punti:

per un assegnato ξ=(ξ¹,...,ξⁿ) di Rⁿ e R>0 scelto ad arbitrio.
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