» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Esempio di "mostro topologico"

Esercizio
Classificare i punti di discontinuità della funzione

Per x->0 la funzione sin(1/x) è non regolare e tale è la funzione assegnata, per cui

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[¯|¯] Fenomeno di Runge e campo non connesso

Nel tentativo di tirar fuori un algoritmo per la ricerca del polinomio interpolatore mi sono imbattuto in una proprietà interessante (ma potrebbe essere solo una coincidenza) e cioè che la possibilità di attenuare il fenomeno di Runge (e quindi, risolvere il problema) sia in qualche modo legata alla topologia di un particolare insieme di punti del piano euclideo. Per essere più specifici, ho considerato il parametro libero μ come una variabile reale, per cui il polinomio diviene una funzione reale delle variabili reali x e μ. A questo punto diviene più facile (via software) visualizzare per quali valori di μ la funzione è negativa (e quindi il polinomio, il cui grafico è ora l'intersezione del grafico della funzione di due variabili con un piano parallelo al piano coordinato xz.

Incidentalmente, il comando di Mathematica RegionPlot[] permette di ricostruire il sottoinsieme di R^2 in cui la funzione di due variabili è negativa. Tale sottoinsime è un campo non connesso e dalla sua struttura dipende l'esistenza di ciò che io chiamo regioni di Runge, i.e. gli insiemi di valori del parametro μ che attenuano in maniera significativa l'omonimo fenomeno.

Per i dettagli, leggi in pdf (da prendere con le molle, in quanto è solo una bozza).

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