Tre teoremi sulla convergenza non assoluta di una serie numerica

giovedì, Ottobre 21st, 2021

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Fig. 1


Nei numeri precedenti abbiamo stabilito che la convergenza assoluta è una condizione sufficiente per la convergenza di una serie. Tuttavia, tale condizione non è necessaria. Enunciamo (senza dimostrare) tre teoremi sulla convergenza non assoluta.

Teorema 1

Hp
La successione delle somme parziali {Sp} relative a una assegnata serie


è superiormente limitata. Inoltre, la successione di numeri reali non negativi {cn} è non crescente ed infinitesima.

Th
La serie


è convergente.

Teorema 2

Hp
La serie


è convergente. Inoltre, la successione di numeri reali {cn} è non crescente ed inferiormente limitata.

Th
La serie


è convergente.

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[¯|¯] Il gioco MU è impossibile

martedì, Febbraio 12th, 2019

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In precedenza avevamo visto il gioco MU. Vediamo ora la soluzione proposta da Hofstadter nel suo libro, precisando sin da ora che il gioco è impossibile (cioè non è possibile produrre la stringa MU a partire dalla stringa MI e applicando le regole).
Ricapitoliamo:

Simboli: M, I, U

Assioma: MI

Regole

  1. Se xI è un teorema, allora lo è anche xIU
  2. .

  3. Se Mx è un teorema, allora lo è anche Mxx
  4. .

  5. In un qualunque teorema si può sostituire III con U
  6. Si può cancellare UU da qualsiasi teorema

Definizione
Chiamiamo I-somma il numero di I in una stringa assegnata
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