Tre teoremi sulla convergenza non assoluta di una serie numerica

Ottobre 21st, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1

Nei numeri precedenti abbiamo stabilito che la convergenza assoluta è una condizione sufficiente per la convergenza di una serie. Tuttavia, tale condizione non è necessaria. Enunciamo (senza dimostrare) tre teoremi sulla convergenza non assoluta.

Teorema 1

Hp
La successione delle somme parziali {Sp} relative a una assegnata serie


è superiormente limitata. Inoltre, la successione di numeri reali non negativi {cn} è non crescente ed infinitesima.

Th
La serie


è convergente.

Teorema 2

Hp
La serie


è convergente. Inoltre, la successione di numeri reali {cn} è non crescente ed inferiormente limitata.

Th
La serie


è convergente.

Teorema 3

Hp
La successione di numeri reali positivi {cn} è decrescente ed infinitesima.

Th


è convergente. Denotando con σ la sua somma:

le somme parziali di ordine dispari:


forniscono valori approssimati per ecceso della somma σ, e le somme parziali di ordine pari:

forniscono valori approssimati per difetto della predetta somma.

Ad esempio:


Qui è

per cui la serie assegnata è convergente. Però non è assolutamente convergente, giacché la serie i cui termini sono i valori assoluti, è la serie armonica che come sappiamo, è divergente.

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