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Calcolo di un limite con il Sandwich Theorem ("Teorema dei carabinieri")

venerdì, Gennaio 15th, 2021
teorema dei carabinieri,sandwich theorem
Immagine tratta da un canale youtube

Esercizio

Calcolare il limite


Soluzione
Abbiamo


Calcoliamo a parte il secondo limite, osservando che

dove


onde per il teorema dei carabinieri

Conclusione: il limite assegnato vale 1.
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[¯|¯] Questo limite non esiste

mercoledì, Febbraio 15th, 2017

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

Fig. 1

Il limite si presenta sotto la forma indeterminata 1oo, giacché:

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

Applichiamo il procedimento standard

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

Il primo limite si calcola facilmente con il cambio di variabile

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito

per cui

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

L'altro limite può scriversi:

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

che è una funzione definita in R-{0}. Come è noto

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

Inoltre

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per cui

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

Tale doppia disuguaglianza suggerisce l'utilizzo del teorema dei carabinieri. Tuttavia le funzioni agli estremi non tendono allo stesso limite:

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

onde il predetto teorema non è applicabile. È facile persuadersi che il grafico di ψ(x) oscilla infinitamente tra le curve

limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

Le oscillazioni non si smorzano per x->0. Ne consegue la non esistenza del limite di ψ(x) per x->0. A sua volta ciò implica
limiti di funzioni esponenziali,forma indeterminata 1 elevato a infinito,teorema dei carabinieri

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