[¯|¯] Uno sviluppo in serie convergente a pi greco

mercoledì, Gennaio 3rd, 2018

pi greco, sviluppo in serie di fourier


Esercizio

Studiare la convergenza della serie di Fourier associata alla funzione periodica di periodo T=2π.
pi greco, sviluppo in serie di fourier

Soluzione
Il grafico della funzione è riportato in fig.

pi greco, sviluppo in serie di fourier

La funzione è continua in

pi greco, sviluppo in serie di fourier

(altro…)




[¯|¯] Oscillatore armonico ideale sottoposto a una forza periodica ma non sinusoidale. Sviluppo in serie di Fourier

sabato, Marzo 18th, 2017

risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier,principio di sovrapposizione lineare degli effetti

Fig. Andamento dell'ascissa di un oscillatore armonico sottoposto a una forza periodica ma non sinusoidale. I singoli andamenti si riferiscono a differenti valori della pulsazione caratteristica dell'oscillatore. Siamo comunque lontani dalla risonanza con le singole componenti di Fourier della forza esterna. Il comportamento è tuttavia interessante


Applichiamo a un oscillatore armonico ideale di massa m e frequenza caratteristica ?0, una forza F(t) che sia una qualunque funzione periodica del tempo di periodo T:

risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

Il secondo principio della dinamica si scrive:

risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

Al solito f(t)=F(t)/m è la forza per unità di massa. Se tale funzione verifica le condizioni di Dirichlet

risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

dove

risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

con

risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

pulsazione della forza applicata dell'oscillatore. I coefficienti ak,bk sono i coefficienti di Fourier
risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

sostituendo nell'equazione precedente:

risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

Se x(t) è un integrale particolare, la linearità della equazione differenziale ci consente di scrivere:
risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

che può essere riscritta come
risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

avendo posto per definizione
risonanza,oscillatore armonico,sviluppo in serie di Fourier

(altro…)