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[¯|¯] Oscillatore armonico ideale sottoposto a una forza periodica ma non sinusoidale. Sviluppo in serie di Fourier

Marzo 18th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Applichiamo a un oscillatore armonico ideale di massa m e frequenza caratteristica ?0, una forza F(t) che sia una qualunque funzione periodica del tempo di periodo T:

Il secondo principio della dinamica si scrive:

Al solito f(t)=F(t)/m è la forza per unità di massa. Se tale funzione verifica le condizioni di Dirichlet

dove

con

pulsazione della forza applicata dell'oscillatore. I coefficienti a_k,b_k sono i coefficienti di Fourier

sostituendo nell'equazione precedente:

Se x(t) è un integrale particolare, la linearità della equazione differenziale ci consente di scrivere:

che può essere riscritta come

avendo posto per definizione

Imponiamo che la soluzione scritta come somma di una serie di Fourier sia una soluzione dell'equazione impostata in precenza. A tale scopo supponiamo che la regolarità delle funzioni coinvolte sia tale da rendere possibile una derivazione termine a termine della serie di Fourier. Quindi:

Con tali sviluppi si ottiene:

Segue

e per k>=1

Cioè

da cui ricaviamo i coefficienti di Fourier della soluzione x(t) in funzione dei coefficienti di Fourier della sollecitazione applicata:

Quindi

Finalmente

che è una conseguenza della linearità dell'equazione differenziale data. Quest'ultima è a sua volta la formulazione matematica del principio di sovrapposizione lineare degli effetti. Ne consegue che la componente k-esima dello sviluppo di Fourier di f(t) va interpretata come una singola sollecitazione sinusoidale. Tuttavia è lecito troncare lo sviluppo di Fourier a un termine n>1, il cui ordine di grandezza dipende dalla funzione f(t). Ad esempio, consideriamo

che è periodica di periodo T=1s , per cui la pulsazione è Ω=1rad/s . Calcoliamo con Mathematica lo sviluppo in serie di Fourier di f(t) arrestato al termine del quint'ordine:

Dal grafico di fig. 1 vediamo che l'approssimazione è abbastanza accettabile.

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Calcoliamo l'ascissa:

dove abbiamo lasciato ω₀ come parametro libero. Ad esempio, per ω₀=20rad/s cioè lontani dalla risonanza nelle singole componenti di Fourier, otteniamo il grafico di fig.2.

In ogni caso questo valore della frequenza sembra interessante, come possiamo vedere dallo strano andamento per ω₀=15rad/s riportato in fig.3.

Tags: oscillatore armonico, principio di sovrapposizione lineare degli effetti, risonanza, sviluppo in serie di Fourier

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