» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Premesse topologiche

sabato, Aprile 1st, 2017

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A un qualunque insieme S possiamo univocamente associare l'insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di S. Denotando con P(S) tale insieme, si ha:

Definizione
Chiamiamo P(S) insieme delle parti di S.
L'insieme della parti di S è "strutturalmente" più complicato di S. Ad esempio, consideriamo l'insieme il cui unico elemento è la lettera a:

I sottoinsiemi di S sono:

onde

Aggiungiamo un elemento:

i cui sottoinsiemi sono

Quindi

Se S è il vuoto? Cioè

Segue

ovvero l'insieme delle parti del vuoto è l'insieme il cui unico elemento è il vuoto. Viceversa

Proposizione

Dimostrazione

c.d.d.
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[¯|¯] Introduzione al concetto di Varietà differenziabile

venerdì, Marzo 31st, 2017

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Le ambiguità riscontrate nella definizione di curva regolare, si risolvono in "un colpo solo" attraverso la nozione di varietà differenziabile. Per introdurre tale importante ente geometrico sono necessarie alcune premesse.

Lo spazio euclideo a n dimensioni

In questa esposizione seguiremo il testo Introduzione ai metodi della geometria differenziale dove viene utilizzata la convenzione degli "indici in alto" per denotare gli elementi delle n-ple ordinate che compongono l'insieme Rⁿ:

con l'ulteriore convenzione di indicare con x (non grassettato) il generico elemento del predetto insieme. Cioè

Ciò premesso, definendo la funzione distanza:

L'insieme Rⁿ assume la struttura di spazio metrico. Chiamiamo tale spazio spazio euclideo a n dimensioni. Inoltre, la metrica induce in Rⁿ una struttura di spazio topologico. In tale topologia gli aperti sono gli insiemi di punti:

per un assegnato ξ=(ξ¹,...,ξⁿ) di Rⁿ e R>0 scelto ad arbitrio.
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