[¯|¯] Contrazione dei Simboli di Christoffel

giovedì, Luglio 18th, 2019

Nelle applicazioni capita sovente il calcolo di Γ_να^β, ovvero di eseguire la contrazione sugli indici α e ß dell'oggetto

A tale scopo consideriamo il determinante della matrice i cui elementi sono le componenti del tensore metrico:

Dalla teoria delle matrici

ove Δ^µν è il complemento algebrico dell'elemento g_µν, i.e. il determinante ottenuto cancellando la riga µ-esima e la colonna ν-esima, preso con il segno positivo se il predetto elemento è di posto pari cioè se µ+ν è pari. Viceversa nel caso contrario. Dal momento che Δ^µν non contiene l'elemento g_µν, dall'equazione scritta più sopra che definisce lo sviluppo del determinante si ha:

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[¯|¯] Simboli di Christoffel sulla 2-sfera

mercoledì, Luglio 17th, 2019

Esercizio
Determinare i simboli di Christoffel per una 2-sfera di raggio a, assumendo come coordinate curvilinee le usuali variabili angolari (θ,φ)

Soluzione

Nello spazio euclideo R³, l'equazione di una 2-sfera ovvero di una sfera che supponiamo centrata nell'origine e di raggio a, si scrive: