[¯|¯] Contrazione dei Simboli di Christoffel

Luglio 18th, 2019 | by Marcello Colozzo |

Nelle applicazioni capita sovente il calcolo di Γ_να^β, ovvero di eseguire la contrazione sugli indici α e ß dell'oggetto

A tale scopo consideriamo il determinante della matrice i cui elementi sono le componenti del tensore metrico:

Dalla teoria delle matrici

ove Δ^µν è il complemento algebrico dell'elemento g_µν, i.e. il determinante ottenuto cancellando la riga µ-esima e la colonna ν-esima, preso con il segno positivo se il predetto elemento è di posto pari cioè se µ+ν è pari. Viceversa nel caso contrario. Dal momento che Δ^µν non contiene l'elemento g_µν, dall'equazione scritta più sopra che definisce lo sviluppo del determinante si ha:

Sempre dalla teoria delle matrici, sappiamo come costruire la matrice inversa. Precisamente, il suo generico elemento è

Dal confronto con le precedenti

A questo punto scriviamo il simbolo di Christoffel contratto:

Se nel primo termine tra parentesi permutiamo gli indici µ e α

Tenendo conto dell'eq. scritta più sopra:

Cioè

Sostienici

Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.