[¯|¯] Simboli di Christoffel sulla 2-sfera

Luglio 17th, 2019 | by Marcello Colozzo |

Esercizio
Determinare i simboli di Christoffel per una 2-sfera di raggio a, assumendo come coordinate curvilinee le usuali variabili angolari (θ,φ)

Soluzione

Nello spazio euclideo R³, l'equazione di una 2-sfera ovvero di una sfera che supponiamo centrata nell'origine e di raggio a, si scrive:

Passiamo dalle coordinate cartesiane alle coordinate sferiche:

Per un generico punto della 2-sfera:

L'elemento di distanza sulla 2-sfera è:

dove a secondo membro troviamo i differenziali delle funzioni precedentemente scritte. Differenziando, quadrando e sommando:

Il nostro sistema di coordinate è definito da x^µ=(θ,φ), per cui

Confrontando con la precedente otteniamo il tensore metrico sulla 2-sfera:

Si osservi la segnatura (+,+) di tale metrica, che assegna un carattere riemanniano e non pseudoriemanniano a questa varietà differenziabile. Incidentalmente

Per il calcolo dei simboli di Christoffel dobbiamo determinare il tensore metrico inverso, la cui matrice si ottiene ovviamente invertendo la matrice della metrica. In questo caso siamo fortunati in quanto tale matrice è diagonale, per cui il calcolo dell'inversa è immediato:

Ora scriviamo

Precisamente

Siccome la metrica è diagonale, deve essere α=ν=1, da cui

Cioè

Calcoliamo i rimanenti simboli

In particolare

Segue il successivo

Cioè

Infine, procedendo in modo simile:

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