» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

I numeri di Lucas

La formula di Binet definisce il termine n-esimo della successione di Fibonacci, attraverso la sezione aurea. Dopo semplici passaggi è facile pervenire a un'espressione contenente il seno iperbolico di un multiplo intero del logaritmo della sezione aurea.

La successione di Fibonacci è definita ricorsivamente, attraverso una legge di ricorrenza e una base (i valori "iniziali" F₀, F₁), e ciò suggerisce di generalizzare tale successione modificando la base e conservando la legge di ricorrenza. Tale possibilità ci rimanda (nel continuo) alle equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine, per un'assegnata condizione iniziale (problema di Cauchy) ove è univocamente definito il valore della funzione incognita in un punto dato e della derivata prima. Anche nel caso discreto la soluzione è univocamente determinata (nel caso continuo, se sono verificate le ipotesi del teorema di Cauchy-Lipschitz).

Tuttavia, l'aspetto sorprendente è la conservazione del comportamento asintotico del rapporto tra il termine (n+1)-esimo e il termine n-esimo, nel senso che tale rapporto tende alla sezione aurea. È come se tale valore asintotico fosse un "bacino di attrazione" per le oo^2 successioni del tipo Fibonacci. Ciò è stato rigorosamente dimostrato per la successione di Lucas.
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I numeri di Fibonacci e la formula di Binet

La successione di Fibonacci è una successione ricorsivamente definita. Precisamente, è una successione di elementi di N:

La ricorsività implica una autosomiglianza, come succede per i frattali, anche se per la successione di Fibonacci abbiamo una autosomiglianza di tipo "aritmetico". È comunque un principio di "economia computazionale": assegnata la legge (somma dei due termini precedenti) e i dati iniziali, viene generata l'intera successione per n=2,3,...,+oo.
Si dimostra che

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