[¯|¯] Ricorsività e frattalità

Novembre 18th, 2017 | by Marcello Colozzo |

ricorsività,frattali,julia,Mandelbrot — **Immagine tratta da www.miorelli.net**

Abbiamo bloggato in più occasioni sulla nozione di ricorsività sia globale che locale

Metaforicamente, la ricorsività è un processo che ingloba sé stesso, con ben espresso nel best seller di Douglas Hofstadter, Gödel Escher, Bach. Un'eterna ghirlanda brillante. Inoltre, la ricorsività è il building block di quell'ente geometrico noto come frattale, denominazione dovuta alla natura frazionaria della sua dimensione. Più specificatamente, enti geometrici del tipo retta, curva, piano, superficie, etc., hanno una dimensione espressa da un numero intero. Ad esempio, la dimensione della retta è 1, come anche quella di una curva. Un piano o una superficie, hanno dimensione 2, etc. etc. Di contro, un frattale ha dimensione m/n, dove ad esempio m=2, n=3.

Uno frattale abbastanza famoso - oltre a quelli scoperti dai matematici Mandelbrot e Julia, che portano i loro nomi - è la curva di Koch. Si tratta di una curva infinitamente frastagliata e proprio per questa sua particolarità, è in grado di rappresentare "oggetti" della realtà fisica come ad esempio, un fiocco di neve. Da un punto di vista dell'Analisi Matematica, la curva di Koch può essere il diagramma cartesiano di una funzione continua ma non derivabile in alcun punto del proprio insieme di definizione. Più precisamente, la derivata prima ha una discontinuità di prima specie in ogni punto. In altri termini, l'insieme dei punti angolosi della curva di Koch è infinito con la potenza del continuo. C'è, dunque, una grossa difficoltà nell'"attaccare" i frattali con i potenti metodi dell'Analisi, e il solo modo per fronteggiarli consiste nell'utilizzare la predetta nozione di ricorsività. Anzi, la ricorsività è esattamente il processo che spara in output un oggetto frattale.

A questo punto poniamoci le domande:

A cosa servono i frattali?
I frattali rappresentano esclusivamente un "gioco matematico" da realizzare via software?

Come già anticipato più sopra, i frattali modellizzano numerosi oggetti che riscontriamo nella cosiddetta realtà fisica, per cui non sono una mera speculazione astratta. Ad esempio, è stato dimostrato che i tracciati elettroencefalografici (EEG) del cervello esibiscono una dimensione frattale.
Senza entrare in dettagli tecnici, i frattali sono collegati alla teoria del caos. Quest’ultima introduce una imprevedibilità nell’evoluzione temporale di una classe di sistemi dinamici. Una imprevedibilità da non confondere con la casualità, poiché i sistemi caotici posseggono un ordine soggiacente. Inoltre, si è visto che le reti neurali che esibiscono dinamiche caotiche, hanno una maggiore performance nell’esecuzione dei calcoli. Forse proprio da qui scaturisce la frattalità di un elettroencefalogramma.

L’intuizione e la creatività sono caratterizzati da un’elevata frattalità dell’EEG. Il pensiero intuitivo/creativo necessita di una dose di imprevedibilità per potersi realizzare. E per questo gli stati mentali emotivamente intensi sono associati ad una maggiore attività creativa.

Una donna intrinsecamente bella, profonda, elettrizzante, esercita un’attrazione fatale ed irresistibile, producendo uno stato emotivo di intensità infinita.

Per concludere, anche la distribuzione delle galassie esibisce una dimensione frattale. Forse l'universo medesimo è un frattale.

- Bibliografia