» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Resto di una serie

mercoledì, Ottobre 6th, 2021

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Sia data la serie:

Per un assegnato intero naturale p non nullo, possiamo scrivere:

Definizione
La serie

ottenuta dalla serie assegnata cancellando i primi p termini, si dice resto di ordine p della serie medesima.

Ne segue che assegnare p equivale a determinare univocamente due serie distinte:

Teorema
La serie assegnata e il suo resto di ordine p, hanno lo stesso comportamento (convergente, divergente, indeterminata).

Dim.

Scriviamo le somme parziali di ordine N di singola serie:

L'asserto segue immediatamente:

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Divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi

lunedì, Settembre 20th, 2021

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Denotando con p_n l'n-esimo primo, dimostriamo:
Proposizione

Dimostrazione

Approssimiamo la somma parziale di ordine N della serie a un integrale, in quanto più maneggevole:

da cui l'asserto

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