Serie numeriche. Definizioni e prime proprietà

martedì, Ottobre 5th, 2021

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Assegnata una successione di elementi di R:

la notazione

rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri u₀,u₁,...,u_n,.... Per assegnare un significato al simbolo

procediamo con un'operazione di passaggio al limite, definendo dapprima la somma parziale di ordine N:

quale elemento della successione di elementi di R:

È intuitivamente ovvio che il significato del simbolo con la sommatoria da 0 a +oo, è univocamente determinato dal comportamento all'infinito della successione delle somme parziali. Diremo, dunque, che il predetto simbolo è una serie numerica o semplicemente, una serie.
Definizione
La serie assegnata è convergente se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

Il numero reale S è la somma della serie e si scrive:

La serie assegnata è divergente se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

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[¯|¯] Il coniglio di Zenone

giovedì, Maggio 3rd, 2018

Definizione
Dicesi coniglio di Zenone un punto materiale che compiendo un moto rettilineo, cerca di raggiungere un punto A posto a una distanza assegnata, dimezzando a ogni secondo la distanza che lo separa da A.
Tale definizione suggerisce l'esercizio seguente:

Un coniglio ogni secondo dimezza la distanza che lo separa da una foglia di insalata. Dimostrare che non raggiungerà mai l'insalata. In particolare, mostrare che il coniglio compie un moto uniforme a tratti.
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