[¯|¯] Retta tangente a una curva piana in forma implicita

giovedì, Marzo 30th, 2017

curva piana in forma implicita,teorema del dini, curva regolare,retta tangente — **Fig. 1**

Sia Γ una curva piana la cui equazione in forma implicita è

curva piana in forma implicita,teorema del dini, curva regolare

dove F è un elmento di C¹(A) con A insieme aperto di R². Per quanto visto se

in un intorno di tale punto la curva Γ è un arco regolare. Per fissare le idee supponiamo:

per cui

e la rappresentazione parametrica
curva piana in forma implicita,teorema del dini, curva regolare

è regolare. Ne consegue che la curva Γ si compone di archi regolari. La regolarità può venir meno negli eventuali punti in cui si annulla il gradiente di F(x,y), cioè le soluzioni dell'equazione

che si dicono punti singolari di Γ. Diversamente, i punti per i quali il gradiente è non nullo, sono punti non singolari di Γ.
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[¯|¯] Ambiguità nella definizione di curva regolare

martedì, Marzo 28th, 2017

curva,rappresentazione parametrica regolare,derivata,retta tangente — **Fig. 1.**

Dal Fasano - Marmi (Meccanica Analitica) a pag. 4 (definizione 1.2):

Una curva C i cui punti sono tutti non singolari si dirà curva regolare.
Dalla definizione 1.1:

Una curva C i cui punti sono tutti non singolari si dirà curva regolare.

In geometria differenziale per curva regolare si intende una curva liscia che non si spezza. "Liscia" vuol dire che è priva di spigoli, mentre "non si spezza" significa che non ha interruzioni. In meccanica analitica/razionale e più in generale in fisica, la regolarità è vitale. Ad esempio, nel caso di una curva spigolosa la velocità di una particella presenta una discontinuità finita nei punti angolosi, il che si traduce in una accelerazione infinita. Allo stesso modo non sono accettabili interruzioni se la traiettoria di una particella si interrompe, la particella medesima "sparisce" da un estremo dell'interruzione per "ricomparire" nell'altro (particella fantasma 😀 ) o ciò che è lo stesso, la particella percorre il tratto tra le due estremità a velocità infinita violando, in tal modo, uno dei postulati della Relatività Speciale.
Ciò premesso, la definizione fornita dal Fasano-Marmi sembra non essere completa. Infatti, come abbiamo visto nel
post il non annullarsi simultaneo delle derivate di x(t),y(t),z(t) è una condizione sufficiente ma non necessaria.

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