» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Ambiguità nella definizione di curva regolare

Dal Fasano - Marmi (Meccanica Analitica) a pag. 4 (definizione 1.2):

Una curva C i cui punti sono tutti non singolari si dirà curva regolare.

In geometria differenziale per curva regolare si intende una curva liscia che non si spezza. "Liscia" vuol dire che è priva di spigoli, mentre "non si spezza" significa che non ha interruzioni. In meccanica analitica/razionale e più in generale in fisica, la regolarità è vitale. Ad esempio, nel caso di una curva spigolosa la velocità di una particella presenta una discontinuità finita nei punti angolosi, il che si traduce in una accelerazione infinita. Allo stesso modo non sono accettabili interruzioni se la traiettoria di una particella si interrompe, la particella medesima "sparisce" da un estremo dell'interruzione per "ricomparire" nell'altro (particella fantasma 😀 ) o ciò che è lo stesso, la particella percorre il tratto tra le due estremità a velocità infinita violando, in tal modo, uno dei postulati della Relatività Speciale.
Ciò premesso, la definizione fornita dal Fasano-Marmi sembra non essere completa. Infatti, come abbiamo visto nel
post il non annullarsi simultaneo delle derivate di x(t),y(t),z(t) è una condizione sufficiente ma non necessaria.

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[¯|¯] Retta tangente a una curva di rappresentazione parametrica regolare

L'asserzione secondo cui una delle condizioni affinché una curva sia dotata di retta tangente è data dal non annullarsi simultaneo delle derivate delle funzioni x(t),y(t),z(t) che compongono una sua rappresentazione parametrica, è facilmente confutabile. Per essere più precisi, tale condizione è sufficiente ma non necessaria, come mostra l'animazione grafica di fig. 1 da cui è visibile la retta tangente a una curva piana la cui rappresentazione parametrica è non regolare in forza dell'annullarsi simultaneo delle derivate di x(t) e y(t) per t=0.
Per dimostrare ciò in maniera rigorosa premettiamo una definizione e la dimostrazione di un importante teorema.
Definizione
Una curva semplice è il codominio di una rappresentazione parametrica iniettiva:

dove

Utilizzando un linguaggio impreciso ma efficace, possiamo dire che una curva semplice "non si intreccia". Più rigorosamente, una curva semplice è priva di punti multipli.
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