Somma delle aree e dei perimetri di infiniti quadrati ottenuti per ricorsione

martedì, Ottobre 12th, 2021

Esercizio tratto (e modificato) dal Gizzetti. La soluzione è nostra.

È dato un quadrato Q₀ di lato a. Si consideri il quadrato Q₁ che ha come vertici i punti medi dei lati di Q₀, poi il quadrato Q₂ avente per vertici i punti medi dei lati di Q1 (fig. 1). Iterando il procedimento si perviene a una successione di quadrati:

ciascuno dei quali è contenuto nel precedente. Dimostrare che la somma dei perimetri e delle aree degli infiniti quadrati ottenuti con tale procedimento ricorsivo, hanno entrambe un valore finito.

Soluzione

È nota la lunghezza a del lato del quadrato Q₀. Guardando la fig. 1 si perviene alla lunghezza del lato di Q₁

e del lato di Q₂:

Ne segue il lato di Q_n

Perimetro e area del quadrato n-esimo sono dunque:

La somma dei perimetri è

giacché abbiamo una serie geometrica convergente. Quindi

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Costruzione di un quadrato da un parallelogramma

martedì, Maggio 25th, 2021

Appunti ed esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Si faccia riferimento alla fig. 1.

Soluzione

Sia dato un parallelogramma (fig. 1) sui lati del quale si costruiscono i relativi quadrati (ciano scuro), completi delle loro diagonali (ciano scuro). Unendo i punti di incontro delle quattro coppie di diagonali (ciano scuro) si otterrà un quadrato (rosso), il cui centro (diagonale rosse) coinciderà con il centro del parallelogramma (diagonale nere).