[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Gohl (parte prima)

giovedì, Aprile 20th, 2017

Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann — **Fig. 1**

Nel 1970 i matematici svedesi Hans Riesel e Gunnar Gohl pubblicarono sulla rivista Matematics of Computation,un articolo sugli effetti della funzione

sull'andamento della distribuzione
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

che nel predetto articolo viene troncata a un termine N-esimo:
Hans Riesel,Gunnar Gohl,numeri primi, congettura di riemann

Riesel e Gohl assumono N=154 per due ragioni:

per tale valore di N, l'errore sulla determinazione di π₀(x) è <10^-4.
Risulta:

come vediamo dal grafico:

La condizione 2 consente di approssimare la funzione integrale

Più precisamente, il termine che può essere approssimato è

Cioè

essendo

Per N=154

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[¯|¯] La legge di distribuzione dei numeri primi

domenica, Aprile 16th, 2017

legge di distribuzione dei numeri primi, numeri primi,funzione zeta di Riemann,approssimazione di Riemann — **Fig. 1**

La funzione a gradini π(x)

Come è noto, i numeri primi sono elementi di N che ammettono solo divisori banali. Cioè, p è numero primo se e solo se p è divisibile solo per se stesso e per 1. I numeri primi compongono una successione di elementi di N:

dove p_n è l'n-esimo numero primo. Ad esempio, p₁=2,p₂=3,p₃=5,p₆=7,p₇=11,... La successione così definita è un'applicazione iniettiva:
legge di distribuzione dei numeri primi, numeri primi,funzione zeta di Riemann,approssimazione di Riemann

il cui grafico è

Dall'iniettività segue l'invertibilità di g:

dove g(N-{0}) è l'immagine di N-{0} attraverso g. Ad esempio: g(3)=5=>g^-1(5)=3. Pertanto per un assegnato numero primo p,g^-1 è il numero di primi tra 1 e p, per cui la funzione g^-1 definisce la legge di distribuzione dei numeri primi. È istintivo prolungare g^-1 da g(N-{0}) a tutto N. Ridifinendo: