Moto in un campo centrale. Seconda legge di Keplero

martedì, Settembre 28th, 2021

Moto in un campo centrale,lagrangiana — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica analitica elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Consideriamo due particelle interagenti per mezzo di una forza centrale (potenziale V(r) dove r è il modulo del vettore posizione; fig. 1.
a) Ottenere la lagrangiana del centro di massa e mostrare che l'energia e il momento angolare si conservano. Provare che il moto è in un piano e soddisfa la seconda legge di Keplero (il vettore posizione spazia aree uguali in tempi uguali).
b) Supporre che il potenziale sia

e che l'energia E sia conosciuta. Trovare le espressioni dei valori minimo e massimo che r assume nel corso del moto.

Soluzione

Poiché le forze agiscono sulle particelle sempre lungo la linea di separazione, il moto rimane confinato nel piano in cui le particelle inizialmente si sono mosse. Usiamo le coordinate polari con origine in fig. 1. Per definizione di centro di massa abbiamo

Quesito a
L'energia cinetica delle particelle è

Dall'equazione scritta più sopra, segue

dove

è la massa ridotta del sistema. L'energia potenziale è

Ne segue la lagrangiana

Pavendo assunto r₂,θ come coordinate generalizzate. La lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, per cui

avendo usato le equazioni di Lagrange. Quindi:

(altro…)

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Moto in un campo centrale. Energia potenziale efficace. Potenziale centrifugo

mercoledì, Marzo 17th, 2021

In una lezione precedente abbiamo visto che un campo centrale è dato da

dove la funzione F:(0,+oo)->R è sufficientemente regolare. Per una proposizione dimostrata nella predetta lezione, un qualunque campo centrale è conservativo, e ha energia potenziale:

Il momento di F(r) rispetto all'origine delle coordinate è manifestamente nullo, per cui si conserva il momento della quantità di moto (o momento angolare) di un punto materiale che si muove in un campo centrale:

Se r₀=r(t₀),v₀=v(t₀) sono posizione e velocità iniziale del predetto punto, si ha che il valore della costante è il momento della quantità di moto iniziale:

ed è disposto come in fig. 1. Ne segue che il moto avviene nel piano α₀ determinato dai vettori posizione e velocità iniziale, quindi è il piano passante per O e perpendicolare ad L₀. Nel caso particolare in cui la velocità iniziale è parallela (o antiparallela) al vettore posizione iniziale, il momento della quantità di moto è nullo a tutti i tempi, per cui il moto è rettilineo. Orientando la terna di assi Oxyz con il piano coordinato xy coincidente con il piano del moto, si ha:

cosicché

Passiamo alle coordinate polari:

per cui

Quindi

Rammentando l'espressione analitica della velocità areolare, si ha:

Ne segue che un qualunque moto centrale conserva la velocità aereolare (Legge di Keplero). È preferibile passare dai versori i e j degli assi coordinati x,y ai versori e_r,e_φ noti come rispettivamente come versore radiale e versore trasversale