[¯|¯] Caratterizzazione dell'insieme di Cantor attraverso un importante teorema

sabato, Aprile 8th, 2017

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Introduciamo una particolare notazione per gli estremi degli intervalli che compongono la k-esima iterazione che porta alla definzione dell'insieme di Cantor. A tale scopo scriviamo:

Denotiamo con A^(k) l'insieme i cui elementi sono gli estremi sinistri dei singoli intervalli I^(k)_j, cioè

e con B^(k) l'insieme i cui elementi sono gli estremi destri dei predetti intervalli:

Ad esempio, per k=1

Per k=2

Per maggiore chiarezza, vedere la figura:

La k-esima iterazione definisce altri due sottoinsiemi di [0,1]:s

Cioè X^(k) è l'insieme di tutti e soli i punti la cui espansione ternaria (i.e. in base 3) è di ordine k e non contiene 1.
Osservazione

In genere un'espansione in base b>1 di un reale x in (0,1) è del tipo

Si dice, invece, di ordine k, se la predetta serie è troncata al k-esimo termine:

L'altro insieme è

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[¯|¯] L'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla

giovedì, Aprile 6th, 2017

Nella lezione precedente abbiamo definito una procedura ricorsiva che restituisce l'insieme:

Ricordiamo che gli intervalli I_j^(k) sono ricorsivamente assegnati dalle formule

Abbiamo quindi la seguente definizione
Definizione
L'insieme

si chiama insieme di Cantor.
È immediata la proposizione:
Proposizione
L'insieme di Cantor è chiuso
Dimostrazione
Dall'espressione di C_k vediamo che C_k è chiuso, in quanto unione di insiemi chiusi. L'asserto segue dagli assiomi di spazio topologico, in quanto C è l'intersezione di una famiglia (infinita) di chiusi.
c.d.d.
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