[¯|¯] Traiettoria di un proiettile in coordinate polari

mercoledì, Gennaio 8th, 2020

proiettile,coordinate polari,mathematica,polarplot — **Fig. 1**

Esercizio
Scrivere l'equazione della traiettoria di un proiettile in coordinate polari. (Si trascuri la resistenza dell'aria).

Soluzione
Ricordiamo che le equazioni orarie di un proiettile (in assenza di resistenza dell'aria) rispetto a un sistema di riferimento cartesiano Oxy nel piano verticale in cui si svolge il moto, sono:

dove v₀ è il modulo del vettore velocità, mentre θ è l'angolo che tale vettore forma con l'asse x (angolo di lancio o alzo). Eliminando il parametro t dalle precedenti equazioni, otteniamo la rappresentazione cartesiana della traiettoria:

in cui riconosciamo un arco di parabola per l'origine e concava verso il basso. Scriviamo le equazioni che connettono le coordinate cartesiane a quelle polari (r,φ)

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[¯|¯] Il Teorema di Cauchy-Lipschitz nell'ambiente di calcolo Mathematica

venerdì, Ottobre 11th, 2019

equazioni differenziali ordinarie, teorema di cauchy-lipschitz,teorema di esistenza e unicità,mathematica

Nell'how-to di oggi vediamo come applicare il Teorema di Cauchy-Lipschitz nell'ambiente di calcolo Mathematica.

Si parte da un semplice esempio di equazione differenziale del primo ordine, che può essere integrata per separazioni di variabili. A dispetto della semplicità, la funzione f che rappresenta tale equazione cioè del tipo y'=f(x,y) non è lipschitziana rispetto alla variabile y, e ciò distrugge una delle ipotesi del predetto teorema. La conseguenza è che un qualunque problema di Cauchy ammette due soluzioni distinte.
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