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[¯|¯] Esonero di Analisi Matematica 1 - Teorema dei Carabinieri

Oggi pubblichiamo la simulazione n. 2 di un esonero di analisi matematica 1. Si tratta di calcolare un limite applicando il Teorema dei Carabinieri.

Ecco il testo:

Assegnata la funzione:

$$f\left( x\right) =x+2\pi\sin x,$$

dimostrare, applicando il teorema dei carabinieri, che $f$ diverge positivamente per $x\rightarrow+\infty$, mentre diverge negativamente per $x\rightarrow-\infty$.in un intorno del punto $x_{0}=0$.

Risulta

$$-1\leq\sin x\leq1\Longrightarrow-2\pi\leq2\pi\sin x\leq2\pi\Longrightarrow x-2\pi\leq x+2\pi\sin x\leq x+2\pi<br />$$

$$g\left( x\right) \leq f\left( x\right) \leq h\left( x\right) ,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}%<br />$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}g\left( x\right) =+\infty,\,\,\,\lim_{x\rightarrow x_{0}}h\left( x\right) =+\infty<br />$$

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[¯|¯] Studio della funzione

Raccogliendo alcuni vecchi post sullo studio della funzione abbiamo completato un ebook liberamente scaricabile (vedi link al termine del post).

Ricordiamo sommariamente l'algoritmo risolutivo per lo studio del diagramma cartesiano o grafico di una funzione reale di una variabile reale. Sia $f$ una funzione reale definita in $X\subseteq \mathbb{R}$, cioè $f:X\rightarrow \mathbb{R}$. Qui $X$ è l'insieme di definizione (denominato anche campo di esistenza o dominio) della funzione.

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