Non regolarità della funzione signum

sabato, Febbraio 13th, 2021

funzione signum, limite per x che tende a zero, non ammette limite

In questa lezione mostriamo la non regolarità della funzione signum che come sappiamo è così definita: sgn(x)=|x|/x, se x diverso da zero; sgn(x)=0 se x=0. Ad esempio per x che tende a zero, siamo tentati a scrivere lim=0. Ma comunque prendiamo un intorno di lim=0, possiamo associare intorni di x=0 per i quali i valori assunti dalla funzione non appartengono all'intorno di lim=0. In maniera analoga per lim=1 e lim=-1.

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Limite di (e^x-e^-x-2x)/(x-sinx) per x che tende a zero

mercoledì, Febbraio 10th, 2021

limite per x che tende a zero,esponenziale,sin — **Fig. 1**

Per calcolre il limite scritto in fig. 1, proviamo a sostituire il valore x=0 e come c'era da aspettarsi esce fuori la forma indeterminata 0/0. Proviamo a vedere se è possibile una qualche manipolazione. A denominatore abbiamo x-sinx, la cui derivata è 1-cosx che ci ricorda un limite fondamentale (quale?). Allora applichiamo la regola di L'Hospital e ovviamente si ripresenta la stessa forma indeterminata. Ma non applichiamo nuovamente L'Hospital bensì un artificio che ci riconduce al predetto limite fondamentale, dopodiché il risultato è quasi immediato.

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