[¯|¯] Rango e nullità di un omomorfismo

mercoledì, Dicembre 14th, 2016

applicazioni lineari, omomorfismi,rango,nullità,kernel

Esercizio
Assegnato l'omomorfismo

determinarne rango e nullità.

Soluzione

Il rango R(A) è per definizione

essendo A(R⁴) l'immagine di R⁴ attraverso A. Risulta:

dove {e_i} è la base canonica di R⁴:

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mentre L denota l'operazione di inviluppo lineare. I trasformati dei vettori di base sono:

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Si noti che tali vettori sono scritti nella base canonica di R³:

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[¯|¯] Nullità di un funzionale lineare

martedì, Novembre 22nd, 2016

kernel,nucleo,funzionale lineare,spazio duale,omomorfismo — **Fig. 1**

Sia H uno spazio di Hilbert n-dimensionale. Ricordiamo che un funzionale lineare o forma lineare algebrica è un'applicazione lineare da H verso C, dove quest'ultimo è considerato spazio vettoriale su C medesimo. Quindi:
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segue che φ è un elemento di hom(H,C), essendo hom(H,C) lo spazio vettoriale degli omomorfismi da H verso C. Come è noto, hom(H,C) si dice spazio duale di H:
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Riesce:

cioè H e ^*H sono isodimensionali. Per un noto teorema, segue che essi sono isomorfi. In fig.1 è visibile l'azione di un elemento φ di ^*H su un qualunque vettore di H.
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