Integrali primi del moto

giovedì, Aprile 15th, 2021

Il problema fondamentale della dinamica del punto materiale, consiste nel determinare il moto di un punto materiale P di massa m sottoposto a una forza F. Assegnata terna inerziale K(Oxyz), per il secondo principio della dinamica si ha:

dove x=xi+yj+zk è il vettore posizione di P rispetto alla predetta terna, mentre la funzione vettoriale a secondo membro esprime la legge della forza. Ne segue che l'equazione scritta sopra equivale a

che è un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine nelle funzioni incognite x(t),y(t),z(t). Supponiamo assegnate le condizioni iniziali

In tal modo abbiamo un problema di Cauchy. Se le funzioni F_x,F_y,F_z sono sufficientemente regolari in modo da verificare le ipotesi del teorema di Cauchy--Lipschitz, il predetto problema è compatibile e determinato, ovvero esiste uno ed un solo integrale che soddisfi le condizioni iniziali assegnate. Ne segue che data la forza F, il punto P può compiere oo^6 moti. Tuttavia, comunque si fissino

esiste uno ed un solo moto x=x(t) tale che

Cioè, assegnata la legge della forza, esiste uno ed un solo moto in cui P occupi a t₀ un'assegnata posizione con una assegnata velocità.
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Applicazione dell'uso degli integrali primi: il pendolo semplice

giovedì, Ottobre 29th, 2020

integrale primo del moto,energia meccanica,pendolo semplice

In questa lezione trattiamo un'applicazione istruttiva del concetto di integrale primo del moto. Precisamente, consideriamo il caso del pendolo semplice in condizioni ideali ovvero trascurando la resistenza dell'aria e assumendo un filo ideale (inestensibile e di massa nulla).
Ricaveremo un'equazione differenziale che manipolata opportunatamente ci consentirà di determinare il periodo del moto nel limite delle piccole oscillazioni, ritrovando l'equazione dedotta dal secondo principio della dinamica.
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